Op pagina “het aantal priemgetallen” is aangetoond, dat het aantal priemgetallen een fractie van ∞ is. Met de Stelling van Euclides komt men tot de conclusie dat er oneindig veel priemgetallen zijn. Waar komt dit verschil vandaan?
Een geheel getal bestaat uit een aantal cijfers 0 t/m 9. 0 is het kleinste gehele getal. ∞ is het grootste natuurlijke getal. Omdat het aantal cijfers van ∞ minder is dan ∞, zijn er getallen die groter zijn dan ∞. Het grootste getal is een getal met ∞ cijfers 9. Getallen met meer cijfers zijn niet van elkaar te onderscheiden omdat het aantal cijfers niet geteld kan worden en deze getallen zijn niet gedefinieerd.
∞ is als macht van 10 te schrijven. ∞ = a x 10^N. Dan is N = log(∞/a) en dus is N kleiner dan ∞. Er zijn getallen dus gehele getallen die groter zijn dan het getal ∞. De natuurlijke cijfers vormen de verzameling alef 0. Alef 1 omvat alle getallen die ontstaan door voor alle natuurlijke getallen het cijfer 1 te zetten. Bij Alef 2 is het cijfer 2 voor de natuurlijke getallen gezet. Dit gaat door tot het getal 1 x 10^∞. Het grootste getal is dan een getal met ∞ cijfers 9. Alef(∞ – N) is het grootst.
Volgens Peano is ∞ = 0 + 1 x ∞. Tel ∞ keer 1 bij 0 op en je hebt het grootste natuurlijke getal.
Als bij 0 ∞ x n opgeteld wordt dan is de uitkomst altijd groter dan ∞. Dit is 0 + ∞ x n.
De stelling van Euclides.
- Neem alle bekende priemgetallen.
- Vermenigvuldig die priemgetallen met elkaar en de uitkomst is P.
- Telt er 1 bij P op.
- De uitkomst P + 1 is niet deelbaar door één van de bekende priemgetallen.
- P +1 is een nog niet bekend priemgetal of een ander getal is een priemgetal.
Doe dit oneindig keer en je heb ∞ priemgetallen. Maar deze conclusie mag niet getrokken worden. Het woord oneindig voor het woord keer is geen telwoord, het is een bijwoord. Oneindig keer is geen wiskundige uitdrukking.
Als het product P van de Stelling van Euclides groter wordt dan ∞, dan is P geen natuurlijk getal en kan het geen priemgetal zijn.
Een even getal is een natuurlijke getal dat deelbaar is door 2. Het aantal even getallen is dus 1/2 x ∞. Door bij ieder even getal 1 op te tellen ontstaan er 1/2 x ∞ oneven getallen.
Als alle natuurlijke getallen met 2 vermenigvuldigd worden dan ontstaat er een verzameling van ∞ getallen die deelbaar zijn door 2. De helft van deze verzameling zijn geen natuurlijke getallen. Deze helft van deze getallen behoren tot de verzameling Alef 1.
Als alle natuurlijke getallen met 3 vermenigvuldigd worden dan ontstaat er ook een verzameling van ∞ getallen. Het grootste getal is 3 x ∞. 1/3 behoort tot de natuurlijke getallen, 1/3 tot Alef 1 en 1/3 tot Alef 2.
Hoeveel priemgetallen zijn er?
Het aantal cijfers van ∞ is niet bekend. Daarom is ook niet bekend hoeveel priemgetallen er in werkelijkheid zijn.
Aan de berekening van de spf(p), de sequentiële priem fractie, zit een eind. De veelvouden die weg gedeeld worden zijn groter dan het kwadraat van het priemgetal p. Maar als p > √∞ zijn de veelvouden van dit priemgetal geen natuurlijk getal meer, want de veelvouden die dan berekend worden zijn geen natuurlijke getallen. De som van alle spf(p)’s nadert tot 1, maar voor de berekening van het aantal veelvouden dat weg gedeeld wordt is de som kleiner dan 1.
Enkele voorbeelden van rijen.
De spf(p) vormen een rij. De som van alle spf(p) is te berekenen.
De som van de reciproke natuurlijke getallen.
∑(1/ni) = 1/1 +1/2 +1/3 + ¼ …. divergeert..
De som van meetkundige reeks met de rede ½.
De ∑(1/ni) = 1, ½, ¼, 1/8, 1/16 … =2.
De som van de spf(pn)
∑{spf(pn)} = ½ + 1/6 + 1/15 + 8/210 + …. =
= ½ + {1/2 – 1/3} + {1/3-4/15} + {4/15-48/210) + …. =
= 1 – 1/2 x 2/3 x 4/5 x 6/7 x 10/11 x 12/13 x …….=
= 1 – delta -> 1
want delta = PI{pn-1/pn}–> 0, als het priemgetal naar ∞ gaat.
De som van de rij spf(p) gaat naar 1. Maar n gaat niet naar ∞ omdat er dan getallen berekend worden die groter zijn dan ∞. ijn antwoord op de Stelling van Euclides is, dat er getallen mee genomen worden die groter zijn dan ∞ en dat zijn geen natuurlijke getallen.
Als er ∞ priemgetallen met elkaar vermenigvuldigd worden, dan is het product groter dan ∞ en dit product is geen natuurlijk getal. De conclusie van Euclides is onjuist. Nu is het aantal cijfers van het getal ∞ niet bekend. Maar met het volgende voorbeeld wordt aangetoond, dat na iedere vermenigvuldiging met een klein priemgetal het product met minstens één cijfer toeneemt. Bij priemgetallen tussen de 100 en de 1000 is dit zelfs 2 en 3 cijfers. Bij grotere priemgetallen neemt het aantal cijfers met meer dan 3 cijfers toe.
2 x 3 = 6 = a1. a1 heeft 1 cijfer a5 x 17 = 510.510 6 cijfers
2 x 3 x 5 = a1 x 5 = 30 = a2. a2 heeft 2 cijfers a6 x 19 = 9.699.690 7 cijfers
a2 x 7 = 210 = a3 heeft 3 cijfers a7 x 23 = 223.092.870 9 cijfers
a3 x 11 = 2310 = a4 heeft 4 cijfers a8 x 29 = 6.469.693.230 10 cijfers
a4 x 13 = 30.030 = a5 heeft 5 cijfers. a9 x 31 =20.056.490.130 11 cijfers
Met de stelling van Euclides is een rij getallen te maken waarvan geen één getal een deler is van een ander getal van de rij.
Start met de twee getallen: 2 en 3
2 x 3 = 6 en 6 + 1 =7
2 x 3 x 7 = 42 en 42 +1 = 43
2 x 3 x 7 x 43 = 1806 en 1806 + 1 = 1807
2 x 3 x 7 x 43 x 1807 = 3263442 en 3263442 + 1 =3.263.443
De rij 2, 3, 7, 43, 1807, 3.263.443 …. Geen één getal is een deler van een ander getal.
Het grootste getal is een getal met ∞ cijfers 9.
De gehele getallen bestaan uit een aantal cijfers. Als het aantal cijfers groter wordt dan ∞, dan zijn die getallen niet van elkaar te onderscheiden. Die getallen zijn niet gedefinieerd. De grootste getallen hebben ∞ cijfers. Het eerste getal met