De patronen van de veelvouden van de priemgetallen

Als men begint met een matrix van 8 kolommen in plaats van te zeven met Zeef van Eratosthenes, dan heeft men 73% minder getallen te testen of dat priemgetallen zijn. De eerste rij van de matrix is 11 13 17 19 23 29 31 37 en de overeenkomstige getallen op de volgende rijen verschillen 30. De priemgetallen 2, 3, 5 en 7 staan niet in deze matrix maar in een aparte rij.

  11     13   17      19    23      29     31     37
  41     43   47     49    53      59     61     67
  71     73   77      79   83      89     91     97
101   103   107   109   113   119   121   127
131   133   137   139   143   149   151   157
161   163   167   169   173   179   181   187
191   193   197   199   203   209   211   217
221   223   227   229   233   239   241   247
251   253   257   259   263   269   271   277

Tabel: 9 rijen van de 8-kolommen matrix.

Aparte rij: De priemgetallen 2, 3, 5 en 7. 

In de 8-kolommen matrix staan geen veelvouden van 2, 3 en of 5. De veelvouden van de priemgetallen vanaf 7 staan tussen de priemgetallen. De matrix wordt aangevuld tot 30 rijen en alle veelvouden van 7 op deze 30 rijen worden gekleurd. Het eerste veelvoud is dan 49, het kwadraat van 7. De volgende veelvouden zijn de producten van het priemgetal 7 met de getallen die in de matrix staan. De rood gekleurde veelvouden zijn de producten van 7 met de getallen van de eerste rij. Het zijn de veelvouden 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217 en 259.
De volgende 8 veelvouden van 7, geel gekleurd, zijn 287, 301, 329, 343, 371, 413, 427, 479.
De 8 veelvouden van het priemgetal 7 met de 8 getallen van een rij vormen een  patroon. Alle patronen van het priemgetal 7 zijn identiek.

De veelvouden liggen in vaste patronen van 8 veelvouden en die zijn verdeeld over de 8 kolommen. Het blijkt dat dit voor alle priemgetallen vanaf het priemgetal 7 op gaat. Maar de patronen van verschillende priemgetallen verschillen van elkaar. De volgorde waarop de producten over de kolommen verdeeld zijn is kenmerkend voor de kolom waarop het priemgetal ligt. De grootte van het interval waarop een patroon ligt is afhankelijk van de grootte van het priemgetal.

Voor de patronen van de priemgetallen geldt:
–        Het patroon bestaat uit 8 veelvouden.
–        Het patroon ligt op een interval ter grootte van het priemgetal keer 30.
–        De 8 veelvouden zijn verdeeld over de 8 kolommen.
–        De patronen volgen elkaar op.
–        Als de eerste of de laatste rij geen 8 getallen bevat, dan is het patroon onvolledig.
–        De vorm of de volgorde waarin de veelvouden over de kolommen verdeeld zijn, is kenmerkend voor de kolom waarop het priemgetal ligt.

Priem 7 (37)   Priem 11      Priem 13        Priem 17       Priem 19      Priem 23      Priem 27      Priem  31
Kolom 8          Kolom 1     Kolom 2        Kolom 3        Kolom 4      Kolom 5       Kolom 6      Kolom 7

Figuur: De 8 patronen van de veelvouden van de priemgetallen 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 en 31.

Patronen van een priemgetal vallen nooit geheel of gedeeltelijk samen. Patronen van verschillende priemgetallen kunnen wel gedeeltelijk samen vallen. Het samenvallende getal is dan een samengestelde getal dat een veelvoud van meer dan één priemgetal is.

Met deze patronen is het mogelijk om alle veelvouden van de priemgetallen door te strepen of te markeren. De veelvouden liggen op een afstand van “een aantal keren de grootte van het priemgetal” keer 30 op iedere kolom vanaf het kleinste veelvoud op die kolom.

Het resultaat van het weglaten van de veelvouden van de priemgetallen in de 8-kolommen matrix.

De vier kleinste priemgetallen: 2, 3, 5 en 7.

 

11	13	17	19	23	29	31	37
41	43	47	—	53	59	61	67
71	73	—	79	83	89	—	97
101	103	107	109	113	—	—	127
131	—	137	139	—	149	151	157
—	163	167	—	173	179	181	—
191	193	197	199	—	—	211	—
—	223	227	229	233	239	241	—
251	—	257	—	263	269	271	277

2, 3, 5 ,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,
173, 179, 181, 191, 193, 197, 199,  211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277

Tekst: De priemgetallen 2 t/m 277 als tekst.

Als het 8-kolommen formaat vergeleken wordt met de opsomming in tekst, dan geeft het 8-kolommen formaat meer inzicht in de verdeling van de priemgetallen. Voor meer inzicht over de verdeling van de priemgetallen zijn er drie kolommen aan het 8-kolommen toegevoegd. Iedere rij heeft een naam. Dat is gelijk aan het eerste getal op de rij of aan het samengestelde getal dat weggestreepte is. Achter iedere rij is het aantal priemgetallen en het aantal priemparen van die rij gezet.

Naam												aantal priem	aantal priempaar
11		11	13	17	19	23	29	31	37			8	3
41		41	43	47	—	53	59	61	67			7	2
71		71	73	—	79	83	89	—	97			6	1
101		101	103	107	109	113	—	—	127			6	2
131		131	—	137	139	—	149	151	157			6	2
161		—	163	167	—	173	179	181	—			5	1
191		191	193	197	199	—	—	211	—			5	2
221		—	223	227	229	233	239	241	—			6	2
251		251	—	257	—	263	269	271	277			6	1

Tabel : 9 rijen van de 8-kolommen formaat met drie aanvullende kolommen.

Op het internet staan de eerste 10.000 priemgetallen in het 8-kolommen formaat. www.ppp