Het aantal priemgetallen is het aantal natuurlijke getallen minus het aantal samengestelde getallen. Als het aantal samengestelde getallen op een interval bekend dan is, dan is ook het aantal priemgetallen bekend. Met de Zeef van Eratosthenes met 30 kolommen en de patronen van de veelvouden in de 8-kolommen matrix zijn de veelvouden van alle priemgetallen op ieder interval te berekenen.
Uit de Zeef van Eratosthenes met 30 kolommen blijkt, dat het priemgetal 2 15 van de 30 kolommen weg deelt. Dat is ½ van het aantal getallen. Van de overige 15 kolommen deelt het priemgetal 3 5 kolommen weg. Dat is 1/6 van het aantal getallen. Dan blijven er 10 kolommen over en daarvan deelt het priemgetal 5 2 kolommen weg. Dat is dus 1/15 van het aantal getallen. Na het wegdelen van de veelvouden van de priemgetallen 2, 3 en 5 blijven er nog 8 kolommen over met priemgetallen tussen samengestelde getallen. Bij het tellen van de samengestelde getallen mag een samengesteld getal maar één keer mee geteld worden. Veel samengestelde getallen zijn deelbaar door meer dan één priemgetal zoals in onderstaande tabel te zien is.
| Getal | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| Priem 2 | p | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | |||||||||||||
| Priem 3 | p | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | |||||||||||||||||
| Priem 5 | p | 5 | 5 | 5 | 5 |
De veelvouden van het priemgetal 2 beginnen bij het getal 4 en zijn homogeen verdeeld over de getallenrechte. De veelvouden van het priemgetal 3, die geen veelvoud van 2 zijn, beginnen bij 9 en die zijn ook homogeen verdeeld over de getallenrechte. De veelvouden van het priemgetal 5, die geen veelvoud van 2 en of 3 zijn, beginnen bij 25. De kleinste veelvouden van 5 zijn 25, 35, 55, 65, 85, 95 enz. Alleen 25 ligt op de rij met 26 getallen. De afstand tussen twee veelvouden van het priemgetal 5, die geen veelvoud van 2 of 3 zijn, is afwisselend 10 en 20. Gemiddeld zijn er 2 veelvouden van het priemgetal 5 per 30 getallen .
Uit het vorige hoofdstuk blijkt, dat 8 op een volgende veelvouden van het priemgetal 7, die geen veelvoud zijn van 2, 3 en of 5, patronen vormen. De veelvouden van 7 zijn niet homogeen verdeeld over de getallen rechte. Een patroon ligt op een interval van 7 x 30 = 210 getallen, dus het priemgetal 7 deelt 8/210 van de getallen weg. De veelvouden die het priemgetal 7 weg deelt zijn altijd groter dan 49, het kwadraat van 7.
Definitie: De sequentiële priemfactor, spf(p), van een priemgetal p geeft aan hoeveel getallen van een standaard interval een veelvoud van dit priemgetal zijn. De getallen van het standaard interval moeten groter dan het kwadraat van dit priemgetal zijn. De standaard interval van de priemgetallen 2, 3 en 5 zijn respectievelijk 2, 6 en 30 getallen groot. De standaard interval van de grotere priemgetallen zijn het priemgetal keer 30 getallen groot.
| Priem getal | Kwadraat | Grootte standaard interval | Aantal veelvouden | Spf(p) | |
| 2 | 4 | 2 | 1 | 1/2 | |
| 3 | 9 | 6 | 1 | 1/6 | |
| 5 | 25 | 30 | 2 | 2/30 | |
| 7 | 49 | 210 | 8 | 8/210 |
Tabel: De kleine priemgetallen met enkele gegevens om het aantal veelvouden te berekenen.
De spf(p) van de priemgetallen 2, 3 en 5 is berekend met de zeef van Eratosthenes met 30 kolommen. De spf(7) is de 8 veelvouden van een patroon gedeeld door het interval waarop een patroon ligt. De spf(p) kan ook berekend worden. De spf(7) is 1/7 van alle natuurlijke getallen op een interval minus de veelvouden van de priemgetallen 2, 3 en 5. De natuurlijke getallen moeten allemaal groter dan 49 zijn en het interval moet een geheel aantal keren de standaard intervallen van de priemgetallen 2, 3, 5 en 7 zijn.
Berekening: Aantal veelvouden van 7 op het interval van N getallen is 1/7 x (N – ½ x N – 1/6 x N – 1/15 x N) = 8/210 x N. Dus is spf(7) = 8/210. Dit is gelijk aan de telling van de 8 veelvouden van een patroon van 7.
Er is een relatie tussen twee op één volgende spf(p).
(|pn| – 1)
Formule: spf(pn+1) = ———- x spf(pn), waarin |pn| de grootte van pn is.
|p n+1|
Bewijs:
De spf(pn) van pn is 1/|pn| keer alle getallen minus de veelvouden van de kleinere priemgetallen, mits alle getallen groter zijn dan het kwadraat van pn.
spf(pn ) = 1/|pn|.{1 – ∑{spf(pn-1)} of |pn| x spf(pn ) = {1 – ∑{spf(pn-1)}
Geldt dit ook voor pn+1 ?
spf(pn+1) = 1/|pn+1|.[1 – ∑{spf(pn)] =
= 1/|pn+1|.[1 – ∑{spf(pn-1) – spf(pn)}] =
= 1/|pn+1|.[|pn| x spf(pn) – spf(pn)] =
= (|pn| – 1)/|p n+1|.spf(pn).
Voor priemgetal 11 is: spf(11) = (7 – 1)/11 x 8/210 = 48/2310
Opmerking: de spf(11) = 48/2310 = 0,02070. Een volledig patroon van het priemgetal 11 ligt op een interval van 330 getallen en er liggen 8 veelvouden van het priemgetal 11 op. Dat is 8/330 = 0,02424. Maar er zijn enkele veelvouden van het priemgetal 11 die ook een veelvoud van het priemgetal 7 zijn. Eén van die getallen is 2387=7 x 341 = 11 x 217. Vandaar dat spf(11) iets kleiner is dan 8/330.
| priemgetal | Spf(p) | Priemgetal | Spf(p) | priemgetal | Spf(p) | ||||||
| 2 | 0,5 | 11 | 0,02078 | 23 | 0,00744 | ||||||
| 3 | 0,16667 | 13 | 0,01598 | 29 | 0,00564 | ||||||
| 5 | 0,06667 | 17 | 0,01128 | 31 | 0,00510 | ||||||
| 7 | 0,03810 | 19 | 0,00950 | 37 | 0,00413 |
Tabel: de spf(p) van de priemgetallen 2 t/m 37.
Berekening van het aantal priemgetallen van enkele intervallen.
Uit de 8-kolommen matrix volgt, dat er een periodiciteit van 30 getallen is. Op ieder interval van 30 getallen vanaf getal 10 liggen maximaal 8 priemgetallen. Van 30 op een volgende getallen zijn er 22 veelvouden van 2, 3 en of 5. Dan blijven er 8 getallen over die of priem of samengesteld zijn.
Interval [10, 39].
Op dit interval liggen 30 natuurlijke getallen en daarvan zijn 8 priemgetallen. Dit is 26,7%
Interval [10, 99].
Op dit interval liggen 90 natuurlijke getallen van twee cijfers.
De priemgetallen 2, 3 en 5 delen 22 van iedere 30 getallen weg. Van 90 getallen is dat 66 getallen. Het priemgetal 7 deelt van dit interval 3 veelvouden weg, de getallen 49, 77 en 91.
Het aantal priemgetallen op dit interval van 90 getallen is: 90 – 66 -3 =21. Dit is 23,3%
Interval [100,999].
Op dit interval liggen 900 natuurlijke getallen van 3 cijfers.
De priemgetallen 2, 3 en 5 delen 22 van iedere 30 getallen weg. Van 900 is dat 660 getallen. De priemgetallen 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 en 31 delen ook veelvouden weg, respectievelijk 34, 20, 16, 10, 8, 6, 2 en 1.
Het aantal priemgetallen op dit interval van 900 getallen is
900 – 660 – 97 = 143. Dit is 15,9%
Bij deze intervallen zijn de veelvouden van priemgetallen vanaf 7 geteld in plaats berekend, omdat de intervallen geen geheel aantal keren de standaard intervallen zijn.
Op de web-side van UTM staat een tabel waarop staat hoeveel priemgetallen er kleiner zijn dan een aantal machten van 10. Dan is te berekenen hoeveel priemgetallen er zijn met een aantal cijfers. De aantallen priemgetallen met 2, 3 en 4 cijfers zijn geteld. De aantallen priemgetallen met meer dan 4 cijfers zijn met behulp van de tabel berekend.
| Aantal cijfers | Aantal getallen | Aantal priemgetallen | % priem | Veelvouden van de priemgetallen | Spf(p) grootste priemgetal. |
| 1 | 9 | 4 | 44% | 2 en 3 | |
| 2 | 90 | 21 | 23% | 2, 3, 5 en 7 | |
| 3 | 900 | 143 | 16% | 2 t/m 31 | Spf(31)=0,00510 |
| 4 | 9000 | 1061 | 12% | 2 t/m 97 | Spf(97)=0,00125 |
| 5 | 90000 | 8363 | 9,3% | 2 t/m 313 | Spf(313)=0,00031 |
| 6 | 900000 | 68906 | 7,7% | ||
| 7 | 9000000 | 586081 | 6,5% | ||
| 8 | 90000000 | 5096876 | 5,7% | ||
| 9 | 900000000 | 45086079 | 5,0% | ||
| 10 | 9000000000 | 404204977 | 4,5% | ||
| 11 | 90000000000 | 3663002302 | 4,1% | ||
| 21 | 9.10e20 | 1,89.10e19 | 2,1% |
Tabel: Het aantal priemgetallen met n cijfers. N = 1 t/m 11 en 21.
Uit de tabel met het aantal priemgetallen met de n cijfers blijkt, dat het aantal priemgetallen met n cijfers groter is dan de som van alle priemgetallen met 1 t/m n-1 cijfers. Bij de cijfers met 21 cijfers is slechts 2,1% van de getallen een priemgetal.
Het percentage priemgetallen wordt dus kleiner als het interval groter wordt. Welk percentage van de natuurlijke getallen priem zijn is niet exact te berekenen, omdat het aantal cijfers van ∞ niet bekend is. Maar het percentage priemgetallen van alle natuurlijke getallen is kleiner dan 2%.
Er zijn 100 natuurlijke getallen met 2 cijfers. Met 3 cijfers zijn 1000 verschillende, natuurlijke getallen te schrijven. Als het aantal cijfers met 1 toeneemt, dan zijn er 10 keer zoveel natuurlijke getallen te schrijven. Het aantal priemgetallen wordt niet 10 keer zo groot, omdat er priemgetallen bij komen, die ook veelvouden weg delen. Er is nagegaan hoeveel extra priemgetallen veelvouden weg delen en hoe groot de spf(p)s van het grootste weg delende priemgetallen is. Het product van de toename met de spf(p) van het grootste weg delende priemgetal is veel kleiner dan de factor 10. Daardoor wordt het percentage priemgetallen kleiner.
| Getal | √getal | Grootste priemgetal dat deelt. | Nummer priemgetal | Toename delende priemgetallen | Spf(p) grootste priemgetal. |
| 100 | 10 | 7 | 4e | +7 | 0,0381 |
| 1.000 | 31,6 | 31 | 11e | +14 | 0,005095 |
| 10.000 | 100 | 97 | 25e | +72 | 0,00125 |
| 100.000 | 316 | 313 | 65e | +40 | 0,000309 |
| 1.000.000 | 1.000 | 997 | 168 | +103 | 8,13.10^-5 |
| 10.000.000 | 3.160 | 9.973 | 1.229 | +1.061 | 6,11.10^-6 |
| 100.000.000 | 10.000 | 99.991 | 9.592 | +8.363 | 4,88.10^-7 |
Tabel: Gegevens van het aantal priemgetallen van een interval, dat veelvouden weg deelt.
Nu is het de vraag hoeveel priemgetallen er zijn. Dat is iets groter dan het aantal priemgetallen dat evenveel cijfers heeft als ∞. Het percentage zal in de orde van één per miljoen of meestal nog kleiner.
Dit komt niet overeen met de stelling van Euclides.
| Soort getallen | Natuurlijke getallen | Alle gehele getallen | |||
| Aantal getallen | ∞ | 10^∞ | |||
| Even getallen | ½.∞ | 0,5.10^∞ | |||
| Oneven getallen | ½.∞ | 0,5.10^∞ | |||
| Veelvouden 2 | ½.∞ | 0,5.10^∞ | |||
| Veelvouden 3 | 1/3.∞ | 0,33.10^∞ | |||
| Veelvouden 5 | 1/5.∞ | 0,2.10^∞ | |||
| Priemgetallen | < 1%.∞ | — |
Er zijn dus meer getallen dan de natuurlijke getallen. Nu is de vraag of een even getal een natuurlijk getal dat deelbaar door 2 is. Of zijn alle getallen die deelbaar door 2 zijn even.