In plaats van te zeven met de Verbeterde Zeef van Eratosthenes met 30 kolommen kan men ook beginnen met een matrix van 8 kolommen. De eerste rij is 11 13 17 19 23 29 31 37 en de overeenkomstige getallen op de volgende rijen verschillen 30. De priemgetallen 2, 3, 5 en 7 staan niet in deze matrix maar in een aparte rij.
11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 49 53 59 61 67
71 73 77 79 83 89 91 97
101 103 107 109 113 119 121 127
131 133 137 139 143 149 151 157
161 163 167 169 173 179 181 187
191 193 197 199 203 209 211 217
221 223 227 229 233 239 241 247
251 253 257 259 263 269 271 277
Tabel: 9 rijen van de 8-kolommen matrix.
De vier kleinste priemgetallen 2, 3, 5 en 7 staan niet in de 8-kolommen matrix.
De veelvouden van het priemgetal 7 staan nog in deze matrix. Dit zijn de getallen:
49, 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217, 259.
Als deze veelvouden als product van 7 geschreven worden, dan zijn dit
7×7, 7×11, 7×13, 7×17, 7×19, 7×23, 7×29, 7×31, 7×37.
7×7 is het kwadraat van 7. De andere getallen zijn het product van het priemgetal 7 met de 8 getallen van de eerste rij.
De volgende 8 veelvouden van 7 zijn, die niet op de eerste 9 rijen liggen, zijn:
287, 301, 329, 343, 371, 413, 427, 469. Dat zijn de producten van 7 met de 8 getallen van de tweede rij. Dit herhaalt zich. De 8 veelvouden van het priemgetal 7 met de 8 getallen van een rij vormen een patroon. De patronen van het priemgetal 7 met de 8 veelvouden van iedere rij zijn identiek.
Dit geldt voor alle priemgetallen vanaf priemgetal 7. Maar de patronen van verschillende priemgetallen verschillen van elkaar. De volgorde waarop de producten over de kolommen verdeeld zijn is kenmerkend voor de kolom waarop het priemgetal ligt. De grootte van het interval waarop een patroon ligt is afhankelijk van de grootte van het priemgetal.
Voor de patronen van de priemgetallen geldt:
– Het patroon bestaat uit 8 veelvouden.
– Het patroon ligt op een interval ter grootte van het priemgetal keer 30.
– De 8 veelvouden zijn verdeeld over de 8 kolommen.
– De patronen volgen elkaar op.
– Als de eerste of de laatste rij geen 8 getallen bevat, dan is het patroon onvolledig.
– De vorm of de volgorde waarin de veelvouden over de kolommen verdeeld zijn, is kenmerkend voor de kolom waarop het priemgetal ligt.
Priem 7 (37) Priem 11 Priem 13 Priem 17 Priem 19 Priem 23 Priem 27 Priem 31
Kolom 8 Kolom 1 Kolom 2 Kolom 3 Kolom 4 Kolom 5 Kolom 6 Kolom 7
Figuur: De 8 patronen van de veelvouden van de priemgetallen.
Patronen van één priemgetal vallen nooit geheel of gedeeltelijk samen. Patronen van verschillende priemgetallen kunnen wel gedeeltelijk samen vallen. Het samenvallende getal is dan een samengestelde getal dat een veelvoud van meer dan één priemgetal is.
Met deze kennis van deze patronen is het niet nodig om alle getallen van de matrix te testen of ze deelbaar zijn. Als de eerste 8 veelvouden van een priemgetal berekend zijn, dan liggen alle veelvouden van dit priemgetal op een afstand van “een aantal keren de grootte van het priemgetal” keer 30.
Het resultaat van het weglaten van de veelvouden van de priemgetallen in de 8-kolommen matrix.
De vier kleinste priemgetallen: 2, 3, 5 en 7.
11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 — 53 59 61 67
71 73 — 79 83 89 — 97
101 103 107 109 113 — — 127
131 — 137 139 — 149 151 157
— 163 167 — 173 179 181 —
191 193 197 199 — — 211 —
— 223 227 229 233 239 241 —
251 — 257 — 263 269 271 277
| 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
| 67 | |||||||
| 97 | |||||||
| 127 | |||||||
| 157 | |||||||
| — | |||||||
| — | |||||||
Tabel: De priemgetallen 11 t/m 277 in het 8-kolommen formaat.
2, 3, 5 ,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167,
173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277
Opsomming: de priemgetallen 2 t/m 277 op een rij.
Als het 8-kolommen formaat vergeleken wordt met de opsomming dan geeft het 8-kolommen formaat meer inzicht in de verdeling van de priemgetallen.
Om de ligging van de priemgetallen te bestuderen is op de website een 8-kolommen matrix geplaatst met de eerste 1000 priemgetallen. Aan de 8-kolommen zijn drie extra kolommen toegevoegd. www.
- Ieder rij heeft een naam. Die naam is gelijk aan het priemgetal op de eerste kolom. Is het getal op de eerste kolom een weggestreept, samengesteld getal, dan is de naam van die rij het weggestreepte samengestelde getal.
- Achter iedere rij is het aantal priemgetallen en het aantal priemparen in de rij vermeld.
De vier kleinste priemgetallen: 2, 3, 5 en 7.
Naam Aantal Aantal
Priem priempaar
11 11 13 17 19 23 29 31 37 8 3
41 41 43 47 — 53 59 61 67 7 2
71 71 73 — 79 83 89 — 97 6 1
101 101 103 107 119 113 — — 127 6 2
131 131 — 137 139 — 149 151 157 6 2
161 — 163 167 — 173 179 181 — 5 1
191 191 193 197 199 — — 211 — 5 2
221 — 223 227 229 233 239 241 — 6 2
251 251 — 257 — 263 269 271 277 6 1
Tabel: De priemgetallen 11 t/m 277 in het 8-kolommen formaat.
Inclusief de naam van de rij en het aantal priemgetallen en priemparen in de rij.